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Thèmes de rechercheAnalyse Numérique, Méthode d'éléments finis, différences finies, problèmes elliptiques avec coefficients discontinus, mécanique des fluides numérique, méthodes level-set, calcul parallèle, équations de Navier-Stokes, méthodes de Galerkin discontinues, magnétohydrodynamique, interpolation d'espaces de Banach.
Méthodes level set en mécanique des fluidesLe point de départ de mes travaux de post-doctorat est le développement d'une méthode "précise" de résolution des équations de Navier-Stokes pour des interfaces de type eau-air, en utilisant des informations sur l'interface. Le cadre de ce travail est la représentation de l'interface par méthode level-set (i.e., l'interface est décrite comme la courbe de niveau 0 d'une fonction définie sur le domaine de calcul) sur maillage cartésien, et l'utilisation de schémas de différences finies. Le choix de l'approche level-set est intéressant car d'une part il permet d'avoir facilement des informations géométriques (position, normale, courbure de l'interface), et d'autre part cette fonction level set est généralement choisie comme étant la fonction distance, et peut ainsi être utilisée dans les schémas numériques (par exemple, pénalisation à l'ordre 2).Le point clef des méthodes level-set est d'être capable de conserver la level-set proche d'une fonction distance. Nous avons choisi de transporter passivement l'interface, et de remplacer régulièrement la fonction level-set par la fonction distance (phase de "réinitialisation"). La difficulté réside dans le fait que les phases de réinitialisation sont nécessaires, mais leur nombre doit être limité, car la réinitialisation peut entraîner un déplacement indésirable de l'interface. Il a donc fallu d'une part utiliser des méthodes de réinitialisation avec peu de perturbation, et d'autre part mettre en place un critère rigoureux, basé sur la géométrie, permettant de déclencher la réinitialisation seulement lorsque nécessaire. Ce critère permet notamment de rendre la méthode indépendante du pas de temps choisi pour l'évolution de la level-set. Par ailleurs, un effort a du être fait sur la réinitialisation, afin de réduire les coûts de calcul. Des méthodes précises mais coûteuses ont été couplées à des méthodes rapides moins précises, rendant le coût de la réinitialisation presque linéaire par rapport au nombre de degrés de liberté. Magnétohydrodynamique en milieu hétérogèneDans ce travail, on s'est intéressés à la simulation numérique de l'effet dynamo, i.e. la génération et l'entretien d'un champ magnétique par le mouvement d'un fluide conducteur de l'électricité. Cet effet est notamment à l'origine du champ magnétique terrestre, et, si plusieurs expériences l'ont mis en évidence (Riga 1999, Karlsruhe 2001, Cadarache 2006), sa simulation numérique présente des défis.A partir d'un code (SFEMaNS, pour Spectral/Finite Elements for Maxwell and Navier Stokes) 3d en géométrie axisymétrique capable de résoudre les équations de la MHD en milieu homogène, nous avons introduit une méthode d'éléments finis de Lagrange (cf. ci-dessous) pour traiter le cas de domaines singuliers et/ou hétérogènes (i.e. dont les propriétés physiques, telles que la conductivité ou la perméabilité, varient, éventuellement brutalement). Les simulations numériques ont permis de faire quelque pas de plus dans la compréhension de l'influence de l'hétérogénéité du milieu dans le cas de la dynamo de Cadarache. Par ailleurs, il a permis également d'étudier le cas de dynamos engendrées par des mouvements de précession, dans des cylindres ou des sphéroïdes. Il a permis notamment d'établir une gamme de paramètres pouvant produire un effet dynamo dans un cylindre en précession, et devrait pouvoir se comparer à une expérience en cours de montage à Dresde (Allemagne).
Approximation numérique des équations de Maxwell par éléments finis de LagrangeLe point de départ de ce travail est la volonté de résoudre les équations de Maxwell dans des domaines singuliers ou hétérogènes par une méthode d'éléments finis de Lagrange (de façon à intégrer cette méthode dans le code SFEMaNS). La difficulté pour l'approximation de ces équations réside dans la contrainte de divergence nulle sur le champ magnétique. Il a été prouvé qu'une stabilisation standard pouvait ne pas converger vers la bonne solution, lorsque celle-ci a une régularité très faible (Costabel, 1990), rendant l'utilisation d'éléments finis de Lagrange délicate. Nous avons pu contourner ce problème en utilisant une stabilisation dans des espaces intermédiaires (espaces de Sobolev fractionnaires d'indice négatif) , via l'introduction d'une nouvelle inconnue, qui fait office de terme de stabilisation et de multiplicateur de Lagrange.Cette approche a nécessité un résultat théorique de régularité a priori, dont l'existence dans la littérature n'est pas clair. Par ailleurs, la convergence de cette méthode a été prouvée dans les cas de régularité minimale (argument à la Nitsche-Aubin pour obtenir un ordre quasi optimal). La faible régularité des solutions couplée à l'uniformité du maillage a nécessité une implémentation dans un code parallèle, pour pouvoir observer le bon comportement de la méthode (ordre de convergence optimal en pratique).
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