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Séminaire Théorie des Nombres

Responsables : Elena Berardini, Léo Poyeton.

Le 6 janvier 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Matthieu Romagny Paris 6

Réduction en p de revêtements de courbes de genre supérieur

Des travaux de Drinfeld, Katz-Mazur et Conrad ont permis de comprendre la réduction en p de la courbe modulaire X_0(p) classifiant les isogénies cycliques de degré p entre courbes elliptiques. Dans cet exposé, nous nous intéressons aux revêtements cycliques de degré p de courbes de genre g>1. Nous présenterons un théorème de réduction stable pour ces revêtements et expliquerons les complications qui apparaissent pour les revêtements de degré p^n lorsque n>1. Il s'agit d'un travail en commun avec Dan Abramovich.

Le 13 janvier 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Víctor Rotger UPC

Diagonal cycles, triple product L-functions and rational points on elliptic curves (Salle 1)

The theme of this talk is the connection between the pro-unipotent fundamental group $\pi_1(X; o)$ of a pointed modular curve $X$, algebraic cycles, and special values of $L$-functions. The extension of mixed Hodge structures arising in the second stage in the lower central series of $\pi_1(X; o)$ gives rise to a supply of points on the Jacobian $\mathrm{Jac}(X)$ of $X$, indexed by Hodge cycles on the surface $X^2$. I will explain how these points can be computed in practice and how are related to the image of the diagonal in $X^3$ under the (complex, étale or $p$-adic de Rham) Abel-Jacobi map. When combined with a formula of Gross-Zagier type for triple product $L$-functions obtained by X. Yuan, S. Zhang and W. Zhang, this yields a criterion, in terms of the leading terms of certain L-series attached to modular forms, for these points to be of infinite order. This reports on a joint work with H. Darmon (partly in collaboration with M. Daub, S. Lichstenstein, I. Sols and W. Stein).

Le 20 janvier 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Shanwen Wang Padova

Système d'Euler de Kato en famille (salle 1)

On donnera une construction de sytème d'Euler de Kato sur l'espace de poids, ce qui est le pointe de départ de la construction d'un système d'Euler de Kato sur une courbe de Hecke cuspidale.

Le 27 janvier 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Charles De Clercq Paris 6

Motifs supérieurs des groupes projectifs linéaires

Le motif supérieur d'une variété projective homogène X sous l'action d'un groupe algébrique semisimple est un invariant très fin, qui encode notamment la dimension p-canonique de X. Dans cet exposé, je présenterai la classification des motifs supérieurs des groupes projectifs linéaires, qui stipule que ces motifs supérieurs sont paramétrés par les sous-groupes cycliques du groupe de Brauer du corps de base ainsi que la dimension des idéaux sous-jacents. J'examinerai ensuite deux conséquences de ce résultat, dont la dichotomie motivique des groupes projectifs linéaires.

Le 3 février 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Denis Benois Université Bordeaux 1

Zéros triviaux des formes modulaires

Soit $f$ une forme modulaire de poids $k$. La fonction $L$ $p$-adique $L_{p,\alpha}(f,s)$ associée à $f$ vérifie la propriété d'interpolation suivante $$ L_{p,\alpha}(f,m)=\Cal E_{\alpha}(f,m)\,L(f,m), \qquad \text{$m$ entier $1\leq m\leq k-1$}. $$ On dit que $L_{p,\alpha}(f,s)$ a un zéro trivial en $s=m\in \Bbb Z$ lorsque $\Cal E_{\alpha}(f,m)=0.$ En 1986, Mazur, Tate et Teitelbaum ont formulé un conjecture qui donne une interprétation arithmétique de la {\bf d'erivée} de $L_{p,\alpha}(f,s)$ en un zéro trivial si $f$ a réduction semistable en $p$. Cette conjecture a été démontrée en 1998-2000 par deux méthodes completement différentes (Kato-Kurihara-Tsuji, Greenberg-Stevens). Dans cet exposé on va formuler et prouver l'analogue de cette conjecture dans le cas de bonne réduction.

Le 10 février 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Alena Pirutka Strasbourg

Sur quelques aspects de la cohomologie non ramifiée

Dans cet exposé, après avoir passé en revue les propriétés générales des groupes de cohomologie non ramifiée, on s'intéressera à des applications pour l'étude des groupes des Chow, ainsi que pour certains principes locaux-globaux, pour des variétés sur des corps fini. En particulier, on va donner un exemple d'une variété projective et lisse, géométriquement rationnelle, définie sur un corps fini et telle que l'application naturelle $CH^2(X)->CH^2(\bar X)^G$ n'est pas surjective.

Le 17 février 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Matthias Flach Caltech

Weil-etale cohomology and Zeta functions of arithmetic schemes

We report on work, joint with Morin, that gives a conjectural description of leading Taylor coefficients of Zeta functions of arithmetic schemes in terms of volumes of certain Weil-etale cohomology groups of motivic complexes. Such a description was given by Milne, Lichtenbaum and Geisser for varieties over finite fields and was begun by Lichtenbaum for the Dedekind Zeta function at s=0. Our work covers arbitrary regular, projective arithmetic schemes at any integer argument and is compatible with the Tamagawa number conjecture of Bloch, Kato, Fontaine and Perin-Riou.

Le 24 février 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Mathilde Herblot Frankfurt am Main

Versions géométriques complexes et p-adiques du théorème de Schneider-Lang

Le théorème de Schneider-Lang est un critère classique de transcendance pour des nombres complexes. Il dit que des fonctions méromorphes d'ordre fini, vérifiant une équation différentielle polynomiale à coefficients dans un corps de nombres et algébriquement indépendantes ne peuvent prendre simultanément des valeurs dans ce corps de nombres qu'en un nombre fini de points. Comme corollaire, on obtient par exemple directement la transcendance de e, pi, log2 ou exp(a) pour tout a algébrique non nul. Dans cet exposé, je présenterai des généralisations géométriques de ce critère, valables sur le corps des nombres complexes ou sur un corps p-adique. En dimension 1, j'exposerai un théorème concernant des sous-schémas formels admettant une uniformisation par une courbe algébrique affine. En dimension supérieure, j'énoncerai un théorème qui s'applique à des sous-schémas formels admettant une uniformisation par un produit d'ouverts de la droite affine, sous l'hypothèse supplémentaire que l'ensemble des points étudiés est un produit cartésien. Les démonstrations de ces résultats reposent sur la méthode des pentes développée par J.-B. Bost et utilisent le langage de la géométrie d'Arakelov.

Le 2 mars 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

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¤ Vacances d'hiver ¤

Le 9 mars 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Damien Stehlé ÉNS Lyon

Une preuve de sécurité pour le cryptosystème NTRU

NTRUEncrypt, proposé en 1996 par Hoffstein, Pipher et Silverman, est le schéma de chiffrement asymétrique le plus efficace, parmi ceux dont la sécurité repose sur la difficulté de problèmes portant sur les réseaux euclidiens. Malheureusement, depuis sa création, sa sécurité a régulièrement été mise en doute. Nous montrerons comment modifier NTRUEncrypt pour qu'il admette une preuve de sécurité contre les attaques à clair choisi, sous l'hypothèse qu'il est difficile de trouver des vecteurs courts dans des réseaux correspondant à des idéaux arbitraires des anneaux d'entiers de corps cyclotomiques. La preuve repose sur les travaux récents de [Lyubashevsky et al., Eurocrypt'10] sur la difficulté du problème Ring-LWE. Notre principale contribution est de démontrer que si les polynômes de petites hauteurs correspondant à la clé secrète sont tirés suivant une loi Gaussienne discrète, alors la distribution de la clé publique, qui est leur quotient modulo un entier, est statistiquement proche de la loi uniforme sur son domaine.

Travail en commun avec Ron Steinfeld

Le 16 mars 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Keisuke Arai Tokyo

Algebraic points on Shimura curves of $\Gamma_0(p)$-type

We classify the characters associated to algebraic points on Shimura curves of $\Gamma_0(p)$-type, and over number fields (not only quadratic fields but also fields of higher degree) we show that there are few points on such a Shimura curve for every sufficiently large prime number $p$. This is an analogue of the study of rational points or points over quadratic fields on the modular curve $X_0(p)$ by Mazur and Momose.

Le 23 mars 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Olivier Brinon Paris 13

Formes de Siegel surconvergentes

Dans cet exposé, j'expliquerai une construction des faisceaux de formes modulaires de Siegel surconvergentes qui utilise des tours d'Igusa surconvergentes. Il s'agit d'un travail en commun avec F. Mokrane et J. Tilouine.

Le 30 mars 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Baptiste Calmès Université d'Artois

Motifs de Chow-Witt

Cet exposé est basé sur un travail commun avec Jean Fasel. Morel et Voevodsky ont défini la catégorie A^1-homotopique stable SH(k) des schémas sur un corps k. Cette catégorie est l'équivalent en géométrie algébrique de la catégorie homotopique stable SH en topologie algébrique, et elle constitue un cadre idéal pour comprendre de nombreuses théories cohomologiques qui y sont représentables. Une bonne compréhension de cette catégorie est donc très souhaitable. Voevodsky a également défini une catégorie de motifs (DM) qui est triangulée, en étroite relation avec la catégorie SH(k), et qui lui a permis d'obtenir des résultats spectaculaires (conjecture de Milnor, etc.). Je tenterai de donner une présentation accessible aux non-spécialistes des structures mentionnées ci-dessus, puis j'expliquerai comment les groupes de Chow-Witt peuvent remplacer les groupes de Chow dans la construction d'une catégorie de motifs analogue à celle de Voevodsky, dans le but de mieux approcher la catégorie A^1-homotopique stable.

Le 6 avril 2012 à 13:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Alina Firicel Grenoble

Approximation diophantienne et automates finis

Dans cet exposé nous nous intéressons à l'approximation des séries de Laurent algébriques, à coefficients dans un corps fini, par des fractions rationnelles. A l'aide d'une méthode inspirée par un article d'Adamczewski et Cassaigne, nous donnons une majoration générale de l'exposant d'irrationalité de ces séries de Laurent. La preuve de ce résultat repose sur un théorème de Christol faisant intervenir les automates finis. Nous illustrerons cette approche à l'aide de quelques exemples.

Le 13 avril 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Stéphane Viguié Univ. Franche-Comté

Systèmes d'Euler, conjecture de Gras, conjecture principale d'Iwasawa.

Les systèmes d'Euler ont été introduits au d'ebut des années 90. Étant donné une extension abélienne finie de corps globaux $K/k$, ils permettent dans certains cas de comparer les structures du module galoisien des $p$-classes $A_K$ et du module galoisien des unités modulo unités de Stark $MCE_K /MCSt_K$. Dans le cas où $k$ est un corps de fonctions de caractéristique $\rho$, ou dans le cas où $k$ est quadratique imaginaire, nous étendons la méthode d'eveloppée par K.\,Rubin. Nous montrons que si $pmid[K:k]$ (dans le cas des corps de fonctions, on suppose aussi $peq\rho$), alors pour tout (sauf les caractères $MBQ$-conjugués au caractère de Teichmuller dans un cas pathologique ) $MBQ_p$-caractère irréductible $\psi$ on a égalité des cardinaux des $\psi$-parties, $\#\left( A_{K,\psi} \right) = \#\left( MCE_K/MCSt_K \right)_\psi.$ Dans le cas où $k$ est quadratique imaginaire, et où le nombre premier $potin \{2,3\}$ est d'ecomposé dans $k$, on note $k_\infty $ l'unique $MBZ_p$-extension de $k$ non ramifiée en dehors de $MFp$. On considère une extension $K_\infty $ de $k_\infty $, abélienne sur $k$. Inspiré par les travaux de K.\,Rubin et W.\,Bley, nous montrons que pour tout $MBC_p$-caractère irréductible $\chi$ du sous-groupe de torsion de $Gal\left( K_\infty /k \right)$, on a égalité des idéaux caractéristiques des $\chi$-quotients, $\#\left( A_{\infty ,\chi} \right) = \#\left( MCE_\infty /MCSt_\infty \right)_\chi.$

Le 20 avril 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Bernard de Mathan Univ. Bordeaux 1

Le principe des tiroirs en Approximation Diophantienne

Le titre, peut-être un peu facétieux, est choisi pour souligner le fait que la conjecture de Littlewood classique, en Approximation Diophantienne simultanée, ainsi que la conjecture mixte (mêlant approximation et divisibilité), proviennent de problèmes extrêmement simples, qui deviennent difficiles, voire insolubles, en renforçant simplement une condition. Sous ce titre, je proposerai un "survey" de résultats récents de divers auteurs sur ces problèmes, ainsi que sur la conjecture duale de la conjecture de Littlewood.

Le 27 avril 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

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¤ Vacances de printemps ¤

Le 4 mai 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Vésale Nicolas Univ. Franche-Comté

Formules analytiques du nombre de classes: rajoutons un peu d'action galoisienne.

On cherche depuis longtemps à généraliser la formule analytique du nombre de classes. La conjecture la plus célèbre du domaine est certainement celle de Birch et Swinnerton-Dyer, qui est un cas très particulier des conjectures équivariantes des nombres de Tamagawa (ETNC) énoncées par Bloch; Kato; Fontaine; Perrin-Riou; Burns et Flach (1990-2001). Malheureusement, si l'on dispose de nombreuses conjectures, les théorèmes sont moins nombreux. Le résultat le plus marquant est le théorème de Burns-Greither (2003): il donne, dans le cas des corps abéliens, une formule analytique du nombre de classes Galois-équivariante. Le but de cet exposé est double: premièrement, nous généraliserons la formule analytique du nombres de classes pour les fonctions L p-adiques de Leopoldt-Colmez en ajoutant, dans le cas abélien, de l'action Galoisienne. Nous prouverons ainsi l'analogue, pour les fonctions L p-adiques, du théorème de Burns-Greither. Deuxièmement, nous comparerons valeurs spéciales des fonctions L et L p-adiques (toujours de façon équivariante), ce qui nous donnera une nouvelle preuve du théorème de Burns-Greither. Mots clés: Théorie d'Iwasawa, régulateurs et K-théorie des anneaux d'entiers, conjectures de Stark, cohomologies Galoisienne et étale, exponentielle de Bloch-Kato et représentations p-adiques.

Le 11 mai 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sudhir Ghorpade Mumbai

Splitting Subspaces, Singer Cycles and Linear Recurrences

\def\FF{{\mathbb F}} \def\PP{{\mathbb P}} \def\Fp{{\mathbb F}_p} \def\Fq{{\mathbb F}_q} \def\Fqm{{\mathbb F}_{q^m}} \def\Fqmn{{\mathbb F}_{q^{mn}}} \def\Fqtn{{\mathbb F}_{q^{2n}}} \def\mod{{\rm mod}} Finite fields have a remarkable property that finite dimensional vector spaces over them are naturally endowed with a compatible field structure. Indeed, we can simply ``move the $d$'' so as to write $\Fq^d \simeq \FF_{q^d}$, where $d$ is any positive integer and, as usual, $\Fq$ denotes the finite field with $q$ elements. This leads to some interesting notions where the field structure and the linear structure are intertwined. One such notion is that of a splitting subspace, which appears to go back at least to Niederreiter (1995) in connection with his work on pseudorandom number generation. Here is the definition. %{\bf Definition.} Fix positive integers $m,n$ and a prime power $q$. Let $\alpha \in \Fqmn$. % be a primitive element of $\Fqmn$ in the sense that $\Fqmn=\Fq(\alpha)$. An $m$-dimensional $\Fq$-linear subspace $W$ of $\Fqmn$ is said to be \emph{$\alpha$-splitting} if \begin{displaymath} \Fqmn = W \oplus \alpha W \oplus \cdots \oplus \alpha^{n-1}W. \end{displaymath} Concerning splitting subspaces, Niederreiter asked the following oindent {\bf Question.} Given %any $\alpha\in \Fqmn$ such that $\Fqmn=\Fq(\alpha)$, what is the number of $m$-dimensional $\alpha$-splitting subspaces of $\Fqmn$? This question has been open for over 15 years. We will outline some recent progress as well as connections to topics such as Singer cycles (in general linear groups), linear recurrences, and primitive polynomials. %, and cryptography. En route, we will also notice an amusing connection with the Riemann zeta function and questions such as when are two polynomials in $\Fq[X]$ of a given positive degree relatively prime.

Le 18 mai 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Damien Bernard Clermont-Ferrand

Zéros non-triviaux des fonctions L

Dans cet exposé, je présenterai une approche statistique des zéros non-triviaux des fonctions L et m?intéresserai plus particulièrement à la hauteur du plus petit de ces zéros.

Le 25 mai 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gerard Freixas Paris 7 - CNRS

Généralisations de la formule de Hilbert-Samuel arithmétique

La formule de Hilbert-Samuel arithmétique mesure le volume du réseau des sections entières d'un fibré sur une variété arithmétique. Le théorème, originalement démontré par Gillet et Soulé comme conséquence de leur théorème de Riemann-Roch en théorie d'Arakelov, a été étendu dans plusieurs directions. Dans l'exposé je présenterai une généralisation qui permet de considérer, par exemple, des variétés de Shimura non compactes et des fibrés de formes automorphes, auxquels la théorie classique de Gillet et Soulé ne s'applique pas.

Le 1er juin 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Luis Dieulefait Barcelona

Modularity and non-solvable base change for GL(2)..

We will present the general ideas in the proof of non-solvable base change for GL(2), from classical modular forms to Hilbert modular forms. The main inputs are modularity lifting theorems and the method of modularity by propagation.

Le 8 juin 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sylvain Duquesne Rennes 1

Représentation RNS des nombres et calcul de couplages

Dans cet exposé, Je présenterais le système de représentation des nombres basé sur le théorème des restes chinois (RNS) et je montrerais comment et pourquoi il est bien adapté au calcul de couplage sur les courbes elliptiques, en particulier pour les grands degrés d'extension comme pour les courbes BN et pour les implémentations matérielles.

Le 15 juin 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Florent Jouve Paris Sud

Matrice de Bézout et transfert de formes quadratiques

Si A est une k-algèbre munie d'une forme A-bilinéaire non-dégénérée, on se demande comment déduire naturellement une famille de structures k-bilinéaires non-dégénérées sur A. Si A est le quotient de k[X] par un polynôme sans facteur carré, on peut utiliser la trace pour opérer ce transfert de structure bilinéaire non-dégénérée. Dans cet exposé (portant sur un travail en commun avec F. Rodriguez-Villegas) on abordera cette question dans un plus grand degré de généralité et l'on montrera que la réponse fait apparaitre une méthode due à Bézout pour le calcul du résultant de deux polynômes. On appliquera ensuite le résultat général à la question de l'existence d'isométries dont on prescrit certains invariants (polynôme caractéristique, forme de Jordan, norme spinorielle...).

Le 22 juin 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gilles Zémor Université Bordeaux 1

Quelques développements récents en combinatoire additive dans le contexte des groupes non-commutatifs

Soit $G$ un groupe abélien fini. Soient $S$ et $T$ deux parties de $G$ telles que $|S+T|\leq |S| + |T| -1$. Les théorèmes additifs classiques nous disent que si on exclut des cas dégénérés par les conditions $|T|\geq 2$ et $|S+T|\leq |G|-2$, alors $S$ est soit une progression arithmétique, soit est bien recouvert par des translatés d'un sous-groupe. Nous obtenons une généralisation de cette caractérisation au cas des groupes non commutatifs qui fait apparaître des exemples quelque peu inattendus d'ensembles $S$ qui ne sont ni des progressions, ni très bien recouverts par des translatés d'un sous-groupe. Nous nous appuyons sur la méthode atomique d'Hamidoune que nous présenterons dans l'exposé avec quelques applications.

Le 29 juin 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Conférence \"Galois covers and deformations\"

Sans titre

Le 6 juillet 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Benjamin Smith LIX\, École polytechnique

Counting points on genus 2 Jacobians with real multiplication

(Joint work with P. Gaudry and D. Kohel) We present an accelerated Schoof-type point-counting algorithm for curves of genus 2 equipped with an efficiently computable real multiplication endomorphism. Our new algorithm reduces the complexity of genus 2 point counting over a finite field \(\F_{q}\) of large characteristic from \(\widetilde{O}(\log^8 q)\) to \(\widetilde{O}(\log^5 q)\). We have used our algorithm to compute a 256-bit prime-order Jacobian suitable for cryptographic applications, and also the order of a 1024-bit Jacobian. (The previous "world record", without real multiplication techniques, was a 256-bit Jacobian).

Le 13 juillet 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Conférence \"Galois Representations and Arithmetic Geometry\"

En l'honneur des 60 ans de Sir Martin J. Taylor.

Le 14 septembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Nicola Mazzari Univ. Bordeaux 1

..Motifs et cohomologie des variétés p-adiques

Je vais vous donner un aperçu autour de la cohomologie syntomique rigide défini par A. Besser. Elle est analogue à la cohomologie de Deligne-Beilinson et est un outil pour étudier les cycles de schémas sur les entiers p-adiques. Grosso modo elle est construite par la cohomologie de de Rham de la fibre générique et la cohomologie rigide de la fibre spéciale. Je donnerais aussi quelques résultats d'un travail en commun avec F. Deglise: nous avons utilisé la catégorie triangulée des motifs pour montrer certaines propriétés (importantes pour les applications) de la cohomologie syntomique rigide.

Le 21 septembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Olivier Brinon Univ. Bordeaux 1

Théorie de Sen des B_dR-représentations

Dans ce travail en commun avec F. Andreatta, nous étendons la théorie des ${\rm B}_{\rm dR}$-représentations de J.-M. Fontaine au cas relatif (sur des schémas affines "petits" au sens de G. Faltings). Cela permet de prouver une propriété de pureté pour les représentations de de Rham (due à K. Morita et T. Tsuji).

Le 28 septembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Angelo Vistoli SNS de Pise

The Nori correspondence

Let X be a variety over a field k, with a fixed rational point x_0 in X(k). Nori defined a profinite group scheme N(X,x_0), usually called Nori's fundamental group, with the property that homomorphisms N(X,x_0) to a fixed finite group scheme G correspond to G-torsors P --> X, with a fixed rational point in the inverse image of x_0 in P. If k is algebraically closed this coincides with Grothendieck's fundamental group, but is in general very different. Nori's main theorem is that if X is complete, the category of finite-dimensional representations of N(X,x_0) is equivalent to an abelian subcategory of the category of vector bundles on X, the category of essentially finite bundles. After describing Nori's results, I will explain my work in collaboration with Niels Borne, from the University of Lille, in which we extend them by removing the dependence on the base point, substituting Nori's fundamental group with a gerbe (in characteristic 0 this had already been done by Deligne), and give a simpler definition of essentially finite bundle, and a more direct and general proof of the correspondence between representations and essentially finite bundles. I will also explain how our formalism naturally yields a formulation of Grothendieck's section conjecture in positive characteristic.

Le 5 octobre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 385

Anatoly Libgober Chicago

Mordell-Weil groups of isotrivial abelian..varieties over function fields.

I'll discuss description of the Mordell Weil rank of an isotrivial abelian variety over field of complex rational functions in two variables in terms of the fundamental group of the complement to the discriminant provided that the discriminant has singularities of CM type. As a corollary I'll describe a family of simple Jacobians for which the Mordell Weil rank can be arbitrary large.

Le 12 octobre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Cécile Dartyge UHP Nancy

Complexité de familles d'ensembles pseudo-aléatoires

Soient p un nombre premier, S un sous-ensemble de F_p et H une famille de polynômes à coefficients dans F_p et de degré inférieur à d. Quel est-alors le plus grand entier k tel que pour toutes paires de sous-ensembles de F_p, disjoints A,B dont le cardinal de l'union est k, il existe un polynôme P appartenant à H tel que P(x) soit dans S si x est dans A et P(x) n'appartienne pas à S si x est dans B? Ce problème correspond à l'étude de la complexité de certaines familles pseudo-aléatoires. On commencera par donner la définition de cette complexité puis nous exposerons les différents résultats obtenus selon la nature des ensembles S et H étudiés. Il s'agit de travaux réalisés avec R. Balasubramanian, Elie Mosaki et Andras Sarkozy

Le 19 octobre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Dmitry Logachev Univ. of Simon Bolivar\, Venezuela

Modules d'Anderson, leurs réseaux et rangs analytiques

Les modules d'Anderson de rang $r$ et dimension $n$ sont analogues des variétés abéliennes de dimension $r$ à multiplication par un corps quadratique imaginaire de signature $(n, r-n)$. Alors, l'objet analytique correspondant à ce module est un réseau de rang $r$ en $C^n$ ($C$ est l'analogue fonctionnelle des nombres complexes). Nous introduisons la notion de dualité des modules d'Anderson, prouvons que la dualité des modules est compatible avec la dualité des réseaux, appliquons ce résultat pour démontrer qu'il y a une correspondance 1 - 1 entre les modules d'Anderson purs de dimension $n=r-1$ (duales aux modules de Drinfeld) et les réseaux de rang $r$ en $C^n$ ayant des duales (presque tous - mais pas tous - ces réseaux ont les duales). Le plus probable, la condition de la pureté du module d'Anderson est essentielle: nous n'avons pas cette correspondance 1 - 1 pour tous les modules d'Anderson (travail en progrès). Il y a la notion du rang analytique du module d'Anderson défini sur un corps $F_q(T)$. Je présenterai les résultats des calculs du rang analytique des tordues du module de Carlitz - le module d'Anderson le plus simple possible. Il y a des problèmes ouverts, par exemple: ce rang, est-il borné? Quelle est l'asymptotique d'apparence du rang élevé, etc.

Le 26 octobre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gaël Rémond Univ. Bordeaux 1

Polarisations et isogénies

Dans ce travail en commun avec Éric Gaudron, nous donnons plusieurs estimations explicites pour la géométrie des variétés abéliennes sur les corps de nombres. En particulier, nous d'emontrons l'existence d'une petite polarisation, dont le degré est contrôlé par la hauteur de Faltings et la dimension de la variété et le degré du corps. Nous améliorons aussi et rendons explicites les théorèmes d'isogénies de Masser et W"ustholz. Au c\oe ur des preuves se trouvent des arguments de géométrie des nombres sur les réseaux euclidiens formés des endomorphismes entre deux variétés abéliennes. On applique ensuite un théorème des périodes.

Le 2 novembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

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¤ Vacances de la Toussaint ¤

Le 9 novembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

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Annulé

La théorie des représentations lisses complexes de $GL(n)$ et de ses formes intérieures sur un corps p-adique est bien comprise. Lorsqu'on remplace le corps des nombres complexes par un corps algébriquement clos de caractéristique $l$ non nulle (supposée différente de p dans cet exposé) plusieurs outils de la théorie complexe font défaut, un problème essentiel étant dû à l'existence de représentations cuspidales non supercuspidales. Dans la théorie modulaire, l'un des principaux outils est la théorie des types, qui analyse les représentations de GL(n) par restriction à certains sous-groupes ouverts compacts. Je présenterai les résultats connus à ce jour issus de travaux en collaboration avec Alberto Minguez et avec Shaun Stevens (unicité du support supercuspidal, classifications des représentations irréductibles, construction des représentations cuspidales par induction compacte, involution de Zelevinski, décomposition en blocs de la catégorie des représentations lisses), ainsi que les problèmes à résoudre.

Le 16 novembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Riccardo Brasca ENS de Lyon

Strict O-modules and p-adic modular forms

We introduce the category of strict $O$-modules, following Faltings. We focus in particular on the strict duality theory, that generalize Cartier duality. We then explain why strict $O$-modules are related to the theory of $p$-adic modular forms, showing that this approach is interesting also in the case $O=Z_p$.

Le 23 novembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Yongqi Liang Univ. Paris 7

Zéro-cycles sur les fibrations en surfaces de Châtelet au-dessus d'une courbe.

Soit $X$ une variété projective lisse définie sur un corps de nombres, fibrée en surfaces de Châtelet au dessus d'une courbe $C$. En supposant la finitude du groupe de Tate-Schafarevitch de la jacobienne de $C$, on montre que l'obstruction de Brauer-Manin est la seule au principe de Hasse et à l'approximation faible pour les zéro-cycles sur $X$.

Le 30 novembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gabriele Nebe RWTH Aachen

Automorphisms of extremal lattices and codes

There are many parallels between the theory of doubly-even self-dual binary codes $C$ of length $n$ and the one of even unimodular lattices $L$ of dimension $n$. They only exist if $n$ is a multiple of $8$ and their minimum (weight) can be bounded from above by $$ d(C) \leq 4\lfloor \frac{n}{24} \rfloor + 4,~~ \mathrm{resp.}~ \min(L) \leq 2\lfloor \frac{n}{24} \rfloor + 2. $$ Lattices (resp. codes) achieving equality are called {\bf extremal}, these are of particular interest if $n$ is a multiple of 24. For these $n$, there are just two extremal codes known, the extended quadratic residue codes of length 24 and 48, both are the unique extremal codes in their length. One intensively studied question is the existence of an extremal code of length 72. Using theoretical and computational methods one may show that the automorphism group of such an extremal code is rather small: its order is either 5 or divides 24. The Leech lattice is the unique extremal lattice of dimension 24, in dimension 48 one knows 3 extremal lattices and there is at least one of dimension 72. It is an interesting question whether there are other extremal lattices of dimension 48. I will report on methods to narrow down the possible automorphisms of such lattices and on number theoretic computations to classify all lattices with an automorphism of order $a$ with $\varphi(a) > 24$.

Le 7 décembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Adriano Marmora IRMA\, Strasbourg

Sur la formule du produit pour les facteurs epsilon p-adiques.

Soit $X$ une courbe propre et lisse sur un corps fini de caractéristique $p$. En 1987, Laumon prouve une formule, conjecturée par Deligne, qui exprime la constante de l'équation fonctionnelle de la fonction $L$ d'un faisceau $l$-adique sur $X$, pour $l$ premier différent de $p$, comme produit de facteurs locaux (facteurs epsilon) aux points fermés de $X$. Cet exposé concerne l'analogue de cette formule en cohomologie rigide, qui a été montrée récemment dans un travail en collaboration avec Tomoyuki Abe.

Le 14 décembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Mladen Dimitrov Univ. Lille

Quotients résiduels des variétés d'Albanese de surfaces modulaires de Picard, et points rationnels.

Nous présenterons les grandes lignes d'un travail en cours en collaboration avec Dinakar Ramakrishnan.

Le 21 décembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

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¤ Pas d'exposé ¤

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