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Séminaire Théorie des Nombres

Responsables : Elena Berardini, Léo Poyeton.

Le 12 janvier 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Lillian Pierce Princeton

Exploring properties of the class group of quadratic fields via the square sieve

Since Gauss's publication of Disquisitiones Arithmeticae in 1801, mathematicians have been interested in the divisibility properties of class numbers. However, still today many of the properties of class numbers remain mysterious. In this talk we will discuss recent work on the divisibility by 3 of class numbers of quadratic fields. It is conjectured that the 3-part of the class number of the quadratic field $Q(\sqrt{D})$ (i.e. the size of the 3-torsion subgroup) may be bounded above by an arbitrarily small power of $|D|$. However, until recently, the only known bound was the trivial bound for the class number itself, $O(|D|^{1/2 + \varepsilon})$. Bounding the 3-part can be reduced to the problem of counting the number of squares of the form $4x^3 - dz^2$, where $d$ is a square-free positive integer, and $x$ and $z$ are integers in the ranges $x \ll d^{1/2}$, $z\ll d^{1/4}$. This counting problem is nontrivial because of the disproportionate ranges of the variables. We show that using a variant of the square sieve in combination with the q-analogue of van der Corput's method allows one to tackle such a counting problem successfully, giving a nontrivial upper bound for the 3-part of class numbers of quadratic fields. This new method of counting integer points is quite general, and has recently been used by Heath-Brown to give an upper bound for the size of discriminants of imaginary quadratic fields whose class group can have exponent 5.

Le 19 janvier 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Harald Helfgott Bristol

Les ensembles mal distribués doivent être petits

Soit $S\subset \mathbb{Z}^n \cap [0,N]^n$ (un ensemble de points entiers dans un intervalle ou une boîte). Supposons que, pour beaucoup de nombres premiers $p$, la distribution de $S$ dans les classes de congruence modulo $p$ est loin d'être uniforme. Est-ce que $S$ est alors forcément petit ? Une dichotomie claire apparaît: soit $S$ est très petit, soit $S$ a beaucoup de structure algébrique. On montre que, si $S\subset \mathbb{Z}^2 \cap [ 0, N]^2$ occupe un petit nombre de classes de congruence modulo $p$ pour beaucoup de nombres premiers $p$, alors soit $S$ contient moins de $N^{\epsilon}$ éléments, soit la plupart des éléments de $S$ appartiennent à une courbe algébrique de degré $O_{\epsilon}(1)$. On conjecture des choses similaires pour $S\subset \mathbb{Z}^n$, $neq 2$. Dans la preuve, on combine des idées du ``crible majeur'' de Gallaguer et du travail de Bombieri et Pila. Toutes les techniques utilisées sont élémentaires. Il s'agit d'un travail en collaboration avec A. Venkatesh.

Le 26 janvier 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

David Lubicz CELAR\, Rennes

Relèvement canonique en caractéristique impaire

Dans cet exposé, nous expliquerons comment calculer effectivement des équations donnant un plongement projectif de l'espace des variétés abéliennes munies d'une certaine structure de niveau et caractériser dans cet espace les relevés canoniques. Nous donnerons des applications algorithmiques.

Le 2 février 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Roger Oyono Waterloo

Jacobiennes modulaires non-hyperelliptiques de dimension 3

Dans cet exposé je présenterai deux méthodes différentes pour la construction des équations des courbes non-hyperelliptiques de genre 3 provenant des facteurs Q-simples A_f principalement polarisés de J(X_0(N)), où X_0(N) repésente la courbe modulaire associée à Gamma_0(N). La première méthode, qui ne s'applique qu'aux courbes modulaires, est basée sur le calcul du morphisme canonique des courbes non hyperelliptiques de genre 3 en utilisant des relations algébriques entre éléments d'une base integrale de l'espace S_2 (A_f) des cusp forms. Ces courbes admettent tous des modèles définis sur Q avec des petits coefficients. L'autre méthode est basée sur la résolution explicite du problème de Torelli en dimension 3 : A partir d'une variété abélienne A=C^3 /(Z^3+W Z^3) donnée par sa matrice de périodes W dans H_3 et provenant de la Jacobienne d'une courbe non hyperelliptique de genre 3, trouver l'équation d'un bon modèle de cette courbe (à isomorphisme près).

Le 16 février 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Anna Cadoret Bordeaux

Contraintes abéliennes pour les G-revêtements

Si $X\rightarrow k$ est une courbe définie sur un corps $k$ et $\mathbf{t}\subset X$ un diviseur $k$-rationnel sur $X$, l'existence d'un G-revêtement abélien $Y\rightarrow X$ défini sur $k$, de diviseur de ramification $\mathbf{t}$ et de degré premier à la caractéristique de $k$ impose des contraintes arithmétiques sur $X$, $\mathbf{t}$ et $\text{Pic}_{X/k}^{0}$. Ces contraintes permettent de relier l'étude de la torsion sur les jacobiennes de courbes à celle des points rationnels sur certains espaces de modules de $G$-revêtements. Je décrirai la connexion entre ces deux problématiques et certains résultats qu'elle a permis d'obtenir, notamment: \begin{itemize} \item une formulation modulaire de la conjecture de torsion forte pour les jacobiennes de courbes. \item une généralisation en dimension supérieure de la tour des courbes modulaires $(Y_{1}(p^{n+1})\rightarrow Y_{1}(p^{n}))_{n\geq 0}$ pour les jacobiennes hyperelliptiques. \item le théorème suivant: \end{itemize} oindent\textbf{Théorème:} \textit{On se fixe un nombre premier $p$, un corps $k$ de type fini et de caractéristique $ot= p$ et un groupe profini $G$ contenant un sous-groupe ouvert $U\subset G$ tel que $U\twoheadrightarrow \mathbb {Z}_{p}$. Alors, quelque soit la courbe $X\to k$ que l'on considère, il n'existe pas d'extension galoisienne $E/\overline{k}(X)$ de groupe $G$ et de corps des modules $k$.} oindent Ce théorème, qui est un contre-exemple à une variante faible du problème de Galois inverse régulier profini (variante vraie pour les groupes finis), a une interprétation modulaire en terme de non-existence de systèmes projectifs sur certaines tours d'espaces de modules pour les courbes avec $G$-action.

Le 22 février 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Olivier Fouquet P.6

Sans titre

Le 23 février 2007

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES D'HIVER

Le 9 mars 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Paul Thomas Young Charleston

Bernoulli numbers and sums of powers..

The Bernoulli numbers arise in classical formulas for the sum of powers of consecutive integers. They play important roles in combinatorics and number theory, and have been studied and generalized by many mathematicians. Among their most important properties is a system of congruences first developed in 1847 by Kummer in his work on the theory of irregular primes. This system of congruences was later interpreted in 1964 by Kubota and Leopoldt as evidence for the existence of remarkable p-adic analogies of the Riemann zeta functions and Dirichlet L-functions. The last decade has seen a resurgence of interest in generalizing and extending Kummer's congruences. In this talk I'll sketch these recent developments, focusing on my own new contributions to the subject and combinatorial applications.

Le 16 mars 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Kamal Khuri-Makdisi AUB

Représentations algorithmiques d'une courbe et de sa jacobienne

Soit X une courbe algébrique lisse et projective sur un corps k. Je présente une façon de décrire X sans équations explicites, en utilisant les valeurs en plusieurs points de sections globales de fibrés en droites sur X. Cette représentation de X conduit à des algorithmes rapides pour les diviseurs sur X et pour la jacobienne de X, ainsi qu'à des approches intéressantes pour les modèles explicites des courbes modulaires et de Shimura.

Le 23 mars 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Denis Trotabas

Non-annulation des fonctions L des formes modulaires de Hilbert

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer établit conjecturalement un moyen d'étudier le rang d'une variété abélienne définie sur un corps de nombres. Sur Q, cela a conduit a étudier la proportion asymptotique de formes modulaires de niveau q premier qui ne s'annulent pas en 1/2, quand q tend vers l'infini. Nous expliquerons la démarche de cette étude, dans le cas d'un corps de nombres totalement réel, pour les formes modulaires de Hilbert, qui passe par une asymptotique des moments amollis.

Le 23 mars 2007 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Andrea Pulita

Théorie abélienne des équations différentielles p-adiques...

Ceci est la première partie de ma thèse. Je donne une classification des équations différentielles de rang 1, solubles, sur l'anneau de Robba. C'est la théorie abélienne des équations différentielles. En termes de représentations cela revient à étudier l'abélianisé de l'inertie du groupe de Galois absolu du corps $k((t))$, avec $k$ de caractéristique $p$. En particulier, je calcule le foncteur de Fontaine qui envoie une représentation dans un $\phi,abla$-module sur l'anneau de Robba "borné".

Le 27 mars 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Pietro Corvaja

Sans titre

Le 30 mars 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Kirill Vankov Grenoble

Calcul symbolique de séries génératrices dans l'algèbre de Hecke

Dans cet exposé je vous présente les résultats explicites de calcul symbolique dans les algèbres de Hecke locales pour $\mathrm{GSp}_n$ des séries génératrices concernées de la conjecture de Shimura (1963) $\sum\limits_{\delta=0}^{\infty}T(p^\delta)X^\delta$ et de Lemme de Rankin de genre supérieur $\sum\limits_{\delta=0}^{\infty}T(p^\delta)\otimes T(p^\delta)X^\delta$. Les résultats ont été obtenus sur l'ordinateur en utilisant l'application sphérique de Satake. Il s'agit d'un travail commun avec Alexei Pantchichkine.

Le 30 mars 2007 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Bruno Martin Nancy

Nouvelles identités de Davenport

Soit $g$ une fonction arithmétique et $B$ la première fonction de Bernoulli normalisée. En développant $B$ en série de Fourier, nous obtenons l'identité formelle $$\sum_{n\ge 1}\frac{g(n)}{n}B(n\theta)=-\sum_{m\ge 1} \frac{\big(g*\1\big)(m)}{m}\sin(2\pi m\theta) \qquad(\theta\in\mathbb{R}),$$ où $*$ désigne l'opérateur de convolution de Dirichlet et $\1$ dénote la fonction arithmétique constante : $\1(n)=1 \,(n\in\mathbb{N}).$ En 1937, Davenport pose le problème de déterminer l'ensemble des nombre réels $\theta$ pour lesquels cette identité prend un sens analytique. En utilisant une méthode reposant sur l'utilisation des entiers friables, nous étudierons le cas où $g$ est la fonction de Piltz d'ordre $z\in\mathbb{C}$.

Le 6 avril 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Pierre Charollois

Sur l'argument des unités de Stark

Nous proposons un raffinement de la conjecture de Stark pour un type particulier de corps de nombres. Notre construction, de type analytique, permet de proposer une formule pour l'unité de Stark au complet (module et argument) au moyen de périodes associées à des formes modulaires de Hilbert, et plus précisément à des séries d'Eisenstein de poids 2. Des exemples numériques donneront, on l'espère, du crédit à notre conjecture. C'est un travail en commun avec Henri Darmon.

Le 6 avril 2007 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

David Blottière Padderborn

Le théorème de Klingen-Siegel via le polylogarithme..

Soit K un corps de nombres totalement réel. Le théorème de Klingen-Siegel est un résultat de rationalité pour les valeurs spéciales de fonctions L (liées aux fonctions zeta partielles) associée à K. Nous donnerons une preuve géométrique de ce théorème. Pour se faire, nous définirons le polylogarithme d'une famille de variétés abéliennes complexes A/S. A partir de cet objet et d'une section de torsion de A/S, on expliquera comment définir des classes de cohomologie rationnelles sur S, appelées classes d'Eisenstein, que l'on peut décrire explicitement à l'aide de séries d'Eisenstein-Kronecker. Ces classes ont un intérêt particulier car, d'après Kings, elles ont une origine motivique. Nous spécialiserons alors la situation géométrique au cas où A/S est une famille modulaire de Hilbert-Blumenthal associée à K et nous considérerons la compactification de Baily-Borel de la base S qui s'obtient en ajoutant un nombre fini de points, appelés pointes. Nous verrons que le résidu des classes d'Eisenstein en ces pointes, qui est un nombre rationnel, s'exprime à l'aide d'une valeur spéciale de la fonction L associée à K considérée par Klingen et Siegel.

Le 13 avril 2007

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

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VACANCES DE PRINTEMPS

Le 27 avril 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Fabrice Orgogozo École Polytechnique

p-dimension des corps et méthode d'algébrisation d'Ofer Gabber

Soit $A$ un anneau intègre hensélien excellent, par exemple complet, de corps résiduel de caractéristique $p>0$ et de corps des fractions $K$ de caractéristique nulle. Si $A$ est un anneau de valuation discrète, Kazuya Katô a démontré en 1980 que la $p$-dimension cohomologique de $K$, $p-dim(K)$, dépend du module des formes différentielles absolues sur le corps résiduel. Il conjecture également que sa formule calculant $p-dim(K)$ est valable en toute dimension. On se propose d'expliquer comment, en utilisant une technique d'algébrisation récente d'Ofer Gabber, on peut ramener cette question au cas particulier déjà établi par Katô. (Travail en collaboration avec Ofer Gabber.)

Le 27 avril 2007 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Joël Riou

K-théorie algébrique et théorie homotopique des schémas

Dans les années 1990, en associant la géométrie algébrique et la théorie de l'homotopie, F. Morel et V. Voevodsky ont introduit la théorie homotopique des schémas. Comme dans le cas classique de la K-théorie topologique complexe, ils ont donné une interprétation homotopique de la K-théorie algébrique faisant intervenir la grassmannienne infinie. En partant de ce résultat, il est possible de déterminer l'ensemble des opérations sur la K-théorie algébrique, de construire des régulateurs vers d'autres théories cohomologiques et de donner une réinterprétation du théorème de Grothendieck-Riemann-Roch.

Le 4 mai 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Carlo Gasbarri Rome

Théorie de Nevanlinna et théorie de la transcendance géométrique

On parlera des généralisations du théorème de Bombieri-Schneider-Lang à des morphismes analytiques des variétés affines dans des variétés projectives. On montrera des applications et l'on expliquera comment la théorie de Nevanlinna joue un rôle important dans ce cadre. Dans la dernière partie on expliquera une nouvelle théorie analogue à la théorie de Nevanlinna, plus adaptée aux problèmes analytiques.

Le 11 mai 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Lorenzo Ramero Lille

Une preuve du théorème d'existence de Riemann p-adique

Il s'agit de l'énonce suivant. Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique 0, complet pour une valuation non-archimédienne; soit $D$ un disque défini sur $K$, et notons $D^*$ le disque $D$ privé de son centre (ce sont des $K$-varietés analytiques); alors, tout revêtement fini de $D^*$ se prolonge à un revêtement ramifié de $D$. Ce théorème a été demontré par Gabber autour de 1982. Le but de l'exposé est de présenter une nouvelle preuve, qui est plus élémentaire et qui utilise certaines valuations non-archimédiennes de rang 2.

Le 11 mai 2007 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

V. Vatsal UBC

p-adic measures and L functions

Le 18 mai 2007

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

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PONT

Le 25 mai 2007 à 15:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Evelina Viada Fribourg

Points algébriques de courbes

Étant donnée une courbe intègre sur une variété abélienne, on étudie les points algébriques de la courbe qui satisfont certaines propriétés. On veut démontrer si l'ensemble de ces points est fini ou pas. On donnera des examples des deux cas: fini et infini.

Le 1er juin 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Szilárd Revesz Rényi Institute et I.H.P

Oscillation of the remainder term in the Beurling prime number formula

Arne Beurling generalized the prime number theorem to the rather general situation when the role of primes are taken over by some arbitrary reals, and integers are simply the reals of the freely generated multiplicative subgroup of the primes given. If the "number of integers from 1 to $x$" function takes the form $N(x)=x + O(x^a)$, with $a<1$, then the corresponding Beurling zeta function has a meromorphic continuation to the halfplane to the right of $a$. Location of zeroes between the real part = 1 and real part $= a$ lines are then crucial to the oscillation of the prime number formula, as is well-known in the classical case. The lecture describes how these relations can be established even in the generality of Beurling prime distribution. In particular, we explain what (relatively mild) conditions can ensure that the most well-known classical zero density estimates carry over to the Beurling zeta function, too.

Le 8 juin 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Tarlok Shorey Tata Institute

Some exponential diophantine equations involving products of integers..

A theorem of Erdos and Selfridge states that a product of two or more consecutive positive integers is never a power. Also Euler proved that a product of four terms in arithmetic progression is not a square. I shall give extensions and refinements of these thorems.

Le 22 juin 2007 à 09:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Journée de Mathan

Pierre Bel "Fonctions zêta de Hurwitz p-adiques et irrationalité"....Yann Bugeaud "Autour du théorème de Roth"....Georges Rhin "Autour du diamètre transfini entier"....Tanguy Rivoal "Interpolation de Lagrange et valeurs de zêta"....Carlo Viola "La méthode du groupe de permutations en approximation..diophantienne"....Michel Walschmidt "Critères de transcendance"..

Le 21 septembre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Ivan Fesenko

Geometry and analysis on regular models of elliptic curves and their arithmetic

I will present main concepts and ideas of two dimensional adelic analysis on regular models of elliptic curves over global fields and discuss its application to meromorphic continuation and functional equation of the zeta function (mean periodicity hypothesis as a weak form of the Taniyama conjecture), its GRH (positivity of the fourth derivative near zero) and the BSD conjecture (a new method to prove its rank part). The talk will have an emphasis on concrete arithmetic and analytic objects which come naturally from the adelic analysis, and it will include computational results obtained via pari. For a beamer-latex pdf file of a 90 minutes more advanced talk on 2d adelic analysis programme please see http://www.maths.nott.ac.uk/personal/ibf/t1.pdf

Le 28 septembre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Achill Schürmann

Perfect forms and extensions

In this talk we review Voronoi's classical theory on perfect lattices, respectively on perfect (positive definite quadratic) forms, from the viewpoint of Ryshkov polyhedra. Based on it we explain how perfect lattices can (in principle) be classified in a given dimension $d$ and we provide some details on the recently finished classification for $d=8$. One of the main applications of such a classification is a solution of the lattice sphere packing problem. One may hope to find an answer to one of the major open problems on sphere packings: the existence of a dimension~$d$, for which there exist non-lattice packings which are denser than any lattice packing. For several dimensions $d\geq 10$ such packings are expected to exist, but so far the lattice sphere packing problem has only been solved for $d\leq 8$ and $d=24$ (where the Leech lattice likely gives the densest possible sphere packing). We introduce a way of extending Voronoi's theory to periodic sets which may help to shed some new light on the problem. On the one hand it yields computational tools for systematic future explorations of dense periodic sphere packings. On the other hand our framework allows to show that perfect and strongly eutactic lattices can not be locally improved to yield denser, periodic non-lattice packings.

Le 5 octobre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Fedor Pakovich

Relations between roots of algebraic equations and the polynomial moment problem

The talk concerns the following "polynomial moment problem" which arose recently in connection with Poincare's center-focus problem for polynomial vector fields. For a given polynomial $P(z)$ to describe polynomials $Q(z)$ orthogonal to all powers of $P(z)$ on a segment $\left[a,b\right]$. In the talk we describe the main stages of a solution of this problem with the emphasis to the ones connected to the number theory. In more details, first, using some combinatorial considerations, similar to the ones appearing in the "Dessins d'enfants" theory, we reduce this problem to the description of algebraic functions of the form $Q(P^{-1}(z))$ the branches of which satisfy a certain system of linear equations over $\mathbb{Q}$. Then we show that in order to obtain such a description it is enough to describe irreducible permutation representations over $\mathbb{Q}$ of the groups containing a full cycle. Finally, on the base of the Schur rings theory, we provide a classification of such representations.

Le 12 octobre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Eduardo Friedman

Finite Products of Regularized Products

Regularized products are known not to commute, namely the product of two regularized products is not in general equal to the product of each of the regularized products. We study this discrepancy and show that in many cases it is of a polynomial nature. The motivation for this is derivatives of $L$ functions at $0$ and the work of Shintani. This is joint work with Francisco Diaz y Diaz.

Le 19 octobre 2007

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

COLLOQUE HENRI COHEN

Sans titre

Le 26 octobre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Ben Odgers

Random matrices and L-functions: transitions between ensembles, and a shifted second moment for L-functions of cusp forms.

In recent times, considerable insight has been gained from comparing certain statistics of random matrix ensembles to the corresponding statistics taken over families of $L$-functions. We will look the transitions between ensembles of some such statistics, and for moments see what $L$-function-related conjectures naturally follow. Relating to an example family used above, an explicit formula will also be given for a shifted second moment taken over the family of $L$-functions of level $1$ cusp forms.

Le 2 novembre 2007

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES DE TOUSSAINT

Sans titre

Le 9 novembre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gabriele Ranieri

Générateurs de l'anneau des entiers d'une extension cyclotomique

Soit $n$ un entier naturel non-nul. Notons $\zeta_n$ une racine primitive $n$-\`{e}me de l'unit'{e} et $\alpha$ un g'{e}n'{e}rateur de $\mathbb{Z}[\zeta_n]$. On dit que $\alpha\sim\beta$ s'il existe $\sigma$ dans $Gal(\mathbb{Q}(\zeta_n)\vert\mathbb{Q})$ et un entier relatif $k$ tels que $\beta=\pm\sigma(\alpha)+k$. Dans ce cas, $\mathbb{Z}[\beta]=\mathbb{Z}[\zeta_n]$. Soit $p$ un nombre premier. Nous connaissons deux classes d''{e}quivalence de $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ \`{a} savoir la classe de $\zeta_p$ et la classe de $\omega:=(\zeta_p+1)^{-1}$. Nous savons '{e}galement que celles-ci sont distinctes si $p>3$ et que $\omega+\overline{\omega}=1$. En 1988, Bremner conjecture qu'il n'existe pas d'autres classes de g'{e}n'{e}rateurs. En 1998, Robertson donne une r'{e}ponse partielle \`{a} cette conjecture en d'{e}montrant que si $\alpha$ est un g'{e}n'{e}rateur alors soit il est '{e}quivalent \`{a} $\zeta_p$ soit $\alpha+\overline{\alpha}$ est un entier impair. Soit $q$ une puissance de $p$ et $h_q^+$ l'ordre du groupe des classes de $\mathbb{Q}(\zeta_q+\overline{\zeta_q})$. En 2006, Gaal et Robertson obtiennent un r'{e}sultat similaire \`{a} celui de Robertson avec l'hypoth\`{e}se suppl'{e}mentaire $h_q^+$ premier avec $p(p-1)/2$. Dans cet expos'{e}, nous montrons qu'il est possible d''{e}liminer celle-ci.

Le 16 novembre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Stéphane Nonnenmacher

Mesures semiclassiques sur des variétés de courbure négative

Nous étudions les fonctions propres du laplacien sur des variétés riemanniennes compactes de courbure sectionnelle négative (par exemple les quotients compacts d'un demi-espace hyperbolique). Dans la limite de haute énergie, la localisation de ces fonctions propres est décrite par certaines mesures sur le cotangent unitaire, appelées mesures semiclassiques. Ces mesures sont invariantes par le flot géodésique, mais toute mesure invariante n'est pas forcément une mesure semiclassique. Dans le cas particulier des variétés arithmétiques, les travaux récents de Lindenstrauss ont montré que les états propres de Hecke ont tous comme mesure semiclassique la mesure de Liouville: ces états propres sont "maximalement délocalisés". En se servant uniquement de la dynamique chaotique du flot géodésique, nous montrons (dans le cas général) que les états propres doivent être au moins "à moitié délocalisés": l'entropie de toute mesure semiclassique est au moins égale à la moitié de l'entropie maximale. (collaboration avec N.Anantharaman et H.Koch)

Le 23 novembre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jean-Robert Belliard

Cohomologie asymptotique des unités circulaires

Dans cet exposé on donne un apercu de la théorie d'Iwasawa dans le cadre cyclotomique. Dans ce cas le groupe des classes d'idéaux usuel est accompagné du groupe des classes d'unités obtenu en quotientant les unités par les unités circulaires. La plus part des grands théorèmes et conjectures de cette théorie (Conjecture Principale, conjecture de Greenberg et conjecture de Vandiver par exemple) affirment que ces deux groupes de classes sont apparentés (en des sens plus ou moins précis). On d'ecrira aussi la cohomologie galoisienne de ces unités circulaires dans la $\mathbb{Z}_p$-extension cyclotomique.

Le 30 novembre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Romain Validire

Descente galoisienne pour les noyaux sauvages étales

Soient $p$ un nombre premier et $F_{\infty}$ la $\mathbb Z_p$-extension cyclotmique d'un corps de nombres $F$. L'objet de l'exposé est l'étude du groupe de Galois $\mathcal G_{\infty}':=Gal(\mathcal L_{\infty}'/F_{\infty})$ o $\mathcal L_{\infty}'$ d'esigne la pro-$p$-extension non ramifiée, $p$-décomposée, maximale de $F_{\infty}$. \ Par ailleurs on d'efinit en cohomologie étale, pour tout entier $i\geq 1$, les noyaux sauvages étales $WK_{2i}^{\acute{e}t}(F)$ ; ceux-ci jouent un rle analogue la $p$-partie du groupe des classes de $F$. M. Kolster et C. Movahhedi ont montré que pour une extension finie $E/F$ le morphisme de norme $WK_{2i}^{\acute{e}}(E)\rightarrow WK_{2i}^{\acute{e}}(F)$ est surjectif sauf dans un cas particulier. Dans ce cas, l'étude du comportement galoisien de ces groupes, en lien avec la théorie d'Iwasawa, donne un critère de pro-$p$-liberté pour $\mathcal G_{\infty}'$. \ Nous précisons ainsi certains résultats sur la structure de $\mathcal G_{\infty}'$ obtenus par J.-F. Jaulent et F. Soriano.

Le 7 décembre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Vincent Cossart U.V.S.Q.

Désingularisation des variétées projectives..de dimension 3 sur un corps quelconque (ou presque)..(travail commun avec olivier Piltant - U.V.S.Q.).

Travail commun avec Olivier PILTANT Après avoir rappelé le problème de la d'esingularisation nous ferons un bref état de l'art en caractéristique $p>0$. Pour résoudre le problème en dimension 3, nous suivons le programme de ZARISKI (1940), que nous rappellerons et qui consiste à scinder la preuve en deux parties oindent 1-uniformisation oindent 2-recollement. Le recollement est acquis depuis 1992. Pour l'uniformisation, nous suivons la stratégie qui permit à ABHYANKAR de faire la dimension 2 (1956) et qui réduit le problème à une équation $$X^p-X g^{p-1}+f \in S[X], $$ $S$ anneau local régulier de dimension 3. Nous donnerons quelques uns des ingrédients qui nous ont permis de conclure.

Le 14 décembre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Tetsushi Ito Kyodai/I.H.E.S.

Hasse invariants and the l-adic cohomology of..unitary Shimura varieties

The classical Hasse invariant is a modular form of weight p-1 in characteristic p which has a simple zero at each supersingular point. In this talk, we will discuss how to generalize the Hasse invariant to unitary Shimura varieties with signature (1,n-1) using the idea of Ekedahl-Oort stratification. We will also discuss an application to the l-adic cohomology of unitary Shimura varieties with bad reduction (Iwahori level structure) using integral models of Harris-Taylor-Yoshida and the weight spectral sequence of Rapoport-Zink.

Le 21 décembre 2007

Séminaire de Théorie des Nombres

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Le 28 décembre 2007

Séminaire de Théorie des Nombres

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